证明 lim 2x=3(x->1) 是错误的

证明:(1)因为lim2x=2(x->1),又函数极限有唯一性,所以lim2x=3(x->1)是错误的.
(2)假设lim 2x=3,则任取e>0,存在d>0,使得|x-1|<d时,|2x-3|<e
当e=1/2时,|2x-3|<1/2,5/2<2x<7/2,5/4<x<7/4,1/4<|x-1|<3/4,则不存在这样的d,使得|x-1|<d时,|2x-3|<e.矛盾
所以lim2x≠3

1/4<|x-1|<3/4,则不存在这样的d
这是怎么推出来的?
是这样的,存在这样的d,要求|x-1|<d时|2x-3|<e,而现在|x-1|有一个下界,也就是说任意找一个d,即使|x-1|<d,也不能保证|x-1|>1/4,所以|2x-3|<e就不能保证成立.由极限的定义来证明,
对于任意的给定的正实数ε,总存在一个δ,使得当x满足条件0<|1-x|<δ时,关系式|2x-3|<ε恒成立,则limit[2x]=3(x→1).
于是我们令ε=0.5,得|2x-3|<0.5,
解得1.25 < x < 1.75,
即0.25<|1-x|<0.75时,关系式|2x-3|<0.5才成立,
当0<|1-x|<0.25时,关系式|2x-3|<0.5不成立,

确切地说,
当δ≥0.25,0<|1-x|<0.25时,x满足0<|1-x|<δ,关系式|2x-3|<0.5却不成立,
当0<δ<0.25,0<|1-x|<δ时,x满足0<|1-x|<δ,关系式|2x-3|<0.5也不成立.
即不存在正实数δ,使得当x满足条件0<|1-x|<δ时,关系式|2x-3|<ε恒成立,
于是"lim 2x=3(x->1) 是错误的".

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