已知椭圆

已知椭x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的两个焦点分别为F₁(-1,0)F₂(1,0),点P在椭圆上,且满足︱PF₁︱=2︱PF₂︱,∠PF₁F₂=30°,直线y=kx+m与圆x²+y²=6/5相切,与椭圆相交于A,B两点。证明∠AOB为定值(O为坐标原点)
解:c=1,︱F₁F₂︱=2C=2,设︱PF₂︱=m,则︱PF₁︱ =2m,在△PF₁F₂中使用余弦
定理,,得m²=4m²+4-2×2m×2cos30°=4m²+4-4(√3)m
故得3m²-4(√3)m+4=[(√3)m-2]²=0,∴m=2/√3=(2/3)√3.
于是得2a=︱PF₁︱+︱PF₂︱=m+2m=3m=3×(2/3)√3=2√3,故a=√3,a²=3,b²=a²-c²=2;
∴椭圆方程为x²/3+y²/2=1 ...............(1)
直线y=kx+m是圆x²+y²=6/5的切线,故圆心(0,0)到直线kx-y+m=0的距离
d=︱m︱/√(1+k²)=√(6/5)
平方去根号得m²/(1+k²)=6/5,即有5m²=6(1+k²),5m²-6k²=6............(2)
将直线方程y=kx+m代入椭圆方程得x²/3+(kx+m)²/2=1,展开整理得:
(2+3k²)x²+6kmx+3m²-6=0
设A(x₁,y₁);B (x₂,y₂);那么按韦达定理:
x₁+x₂=-6km/(2+3k²); x₁x₂=(3m²-6)/(2+3k²);
y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=k(x₁+x₂)+2m=-6k²m/(2+3k²)+2m=4m/(2+3k²)
y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+mk(x₁+x₂)+m²=k²(3m²-6)/(2+3k²)-6k²m²/(2+3k²)+m²
=(3k²m²-6k²-6k²m²+2m²+3k²m²)/(2+3k²)=(2m²-6k²)/(2+3k²)
向量的数量积OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=(3m²-6)/(2+3k²)+(2m²-6k²)/(2+3k²)=(5m²-6k²-6)/)2+3k²),
由(2)可知:5m²-6k²-6=0,∴恒有OA•OB=0,即恒有OA⊥OB,也就是恒有∠AOB=90°.
于是命题得证。由F点可知c=1,︱F₁F₂︱=2C=2,设︱PF₂︱=m,则︱PF₁︱ =2m,在△PF₁F₂中余弦定理,,得m²=4m²+4-2×2m×2cos30°=4m²+4-4(√3)m
故得3m²-4(√3)m+4=[(√3)m-2]²=0,∴m=2/√3=(2/3)√3.
于是得2a=︱PF₁︱+︱PF₂︱=m+2m=3m=3×(2/3)√3=2√3,故a=√3,a²=3,b²=a²-c²=2;
∴椭圆方程为x²/3+y²/2=1 ...............(1)
直线y=kx+m是圆x²+y²=6/5的切线,故圆心(0,0)到直线kx-y+m=0的距离
d=︱m︱/√(1+k²)=√(6/5)
平方去根号得m²/(1+k²)=6/5,即有5m²=6(1+k²),5m²-6k²=6............(2)
将直线方程y=kx+m代入椭圆方程得x²/3+(kx+m)²/2=1,展开整理得:
(2+3k²)x²+6kmx+3m²-6=0
设A(x₁,y₁);B (x₂,y₂);那么易知
x₁+x₂=-6km/(2+3k²); x₁x₂=(3m²-6)/(2+3k²);
y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=k(x₁+x₂)+2m=-6k²m/(2+3k²)+2m=4m/(2+3k²)
y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+mk(x₁+x₂)+m²=k²(3m²-6)/(2+3k²)-6k²m²/(2+3k²)+m²
=(3k²m²-6k²-6k²m²+2m²+3k²m²)/(2+3k²)=(2m²-6k²)/(2+3k²)
向量的数量积OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=(3m²-6)/(2+3k²)+(2m²-6k²)/(2+3k²)=(5m²-6k²-6)/)2+3k²),
由(2)可知:5m²-6k²-6=0,∴恒有向量OA•OB=0,即OA⊥OB,∠AOB=90°,所以角为定值.三角形PF1F2为直角三角形,可以求出椭圆方程。可以用面积试试,AB对应的高是定值,用AB*高=|OA|*|OB|sinAOB
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